本文目錄

• 何謂正交矩陣？它有哪些性質(zhì)？
• 正交矩陣的？
• 兩列什么叫正交矩陣？
• 一個(gè)正交矩陣是什么意思？
• 怎樣求一個(gè)矩陣的正交陣？
• 正交矩陣的性質(zhì)有哪些？

何謂正交矩陣？它有哪些性質(zhì)？

假如：AA'=E（E為單位矩陣，A'表示“矩陣A的轉(zhuǎn)置”。）則n階實(shí)矩陣A稱為正交矩陣性質(zhì)：

1. 方陣A正交的充要條件是A的行（列) 向量組是單位正交向量組；

2. 方陣A正交的充要條件是A的n個(gè)行（列)向量是n維向量空間的一組標(biāo)準(zhǔn)正交基；

3. A是正交矩陣的充要條件是：A的行向量組兩兩正交且都是單位向量；

4. A的列向量組也是正交單位向量組。

正交矩陣的？

正交矩陣是實(shí)數(shù)特殊化的酉矩陣，因此總是屬于正規(guī)矩陣。盡管我們?cè)谶@里只考慮實(shí)數(shù)矩陣，但這個(gè)定義可用于其元素來自任何域的矩陣。

正交矩陣究竟是從內(nèi)積自然引出的，所以對(duì)于復(fù)數(shù)的矩陣這導(dǎo)致了回一要求。正交矩陣不一定是實(shí)矩陣。

實(shí)正交矩陣（即該正交矩陣中所有元都是實(shí)數(shù)）可以看做是一種特殊的酉矩陣，但也存在一種復(fù)正交矩陣，這種復(fù)正交矩陣不是酉矩陣

兩列什么叫正交矩陣？

正交矩陣是方塊矩陣，行向量和列向量皆為正交的單位向量。

行向量皆為正交的單位向量，任意兩行正交就是兩行點(diǎn)乘結(jié)果為0，而由于是單位向量，所以任意行點(diǎn)乘自己結(jié)果為1。

對(duì)于3x3正交矩陣，每行是一個(gè)3維向量，兩個(gè)3維向量正交的幾何意義就是這兩個(gè)向量相互垂直。

所以3x3正交矩陣的三行可以理解為一個(gè)3D坐標(biāo)系里的三個(gè)坐標(biāo)軸，下面是3＊3正交矩陣M，

x1，x2，x3，／／x軸y1，y2，y3，／／y軸z1，z2，z3，／／z軸

單位矩陣表示的三個(gè)坐標(biāo)軸就是笛卡爾坐標(biāo)系里的x，y，z軸：

1，0，0，／／x軸0，1，0，／／y軸0，0，空運(yùn)報(bào)價(jià) 海運(yùn)價(jià)格，1，／／z軸

一個(gè)向量乘以3x3正交矩陣的幾何意義就是把這個(gè)向量從當(dāng)前坐標(biāo)系變換到這個(gè)矩陣所表示的坐標(biāo)系里，比如下面的矩陣M1，

0，1，0，1，0，0，0，0，1，

一個(gè)向量（1，2，3）右乘這個(gè)矩陣M1得到新的向量（2，1，3），就是把原向量從原坐標(biāo)系變換到一個(gè)新的坐標(biāo)系。

新坐標(biāo)系的x軸在原坐標(biāo)系里是（0，1，0），即落在原坐標(biāo)系的y軸上，

新坐標(biāo)系就是把原坐標(biāo)系的x和y軸對(duì)調(diào)，所以這個(gè)正交矩陣M1作用于向量（1，2，3）后把向量的x和y分量對(duì)調(diào)了。

正交矩陣的定義“行向量和列向量皆為正交的單位向量”帶來了另一個(gè)好處：正交矩陣的轉(zhuǎn)置就是正交矩陣的逆，比普通矩陣求逆矩陣簡單多了。

一個(gè)正交矩陣是什么意思？

一個(gè)正交矩陣是指其轉(zhuǎn)置即是逆的矩陣，假設(shè)A是一個(gè)n階方陣，Aт是A的轉(zhuǎn)置，假如有AтA=E（單位矩陣），則稱A是正交矩陣。

正交矩陣是實(shí)數(shù)特殊化的酉矩陣，因此總是屬于正規(guī)矩陣。正交矩陣不一定是實(shí)矩陣，實(shí)正交矩陣（即該正交矩陣中所有元都是實(shí)數(shù)）可以看做是一種特殊的酉矩陣，但也存在一種復(fù)正交矩陣，這種復(fù)正交矩陣不是酉矩陣

怎樣求一個(gè)矩陣的正交陣？

2、這里常用的矩陣求法為1)這種3x3的矩陣可以按縱（橫）列利用代數(shù)余子式展開直接求解，即

3、通過化為上三角或下三角（對(duì)于該題并不適用，過程太過繁瑣）

4、由前面我們求得特征根的值為2和8（兩個(gè)值重疊了，即2，2，8）所以我們可得下圖

5、現(xiàn)在我們對(duì)每個(gè)特征根帶進(jìn)原式求基礎(chǔ)解系具體來說就是原來的式子|進(jìn)E-A|中的進(jìn)應(yīng)該被我們解出來的2，2，8重新帶進(jìn)1）把進(jìn)=2帶進(jìn)可得（2E-A）X = 0即如下圖所示

6、我們開始解這個(gè)其次方程了，我們得到的式子為-2x1-2x2-2x3=0;把x1當(dāng)作未知數(shù)，x2，x3為參數(shù)可得-x1 = x2 + x3;(x2,x3)把他們的取值分別設(shè)為（1，0）（0，1）可得x1的值為-1；所以基礎(chǔ)解系為X1（-1，1，0），X2（-1，0，1）65線性方程租的解法(非齊次方程和齊次方程)，將X1，X2正交標(biāo)準(zhǔn)化得到：正交標(biāo)準(zhǔn)話，即單位化，同理得到 進(jìn)=8 的基礎(chǔ)解系，用解得的單位解組成正交矩陣（留意：應(yīng)該是縱向組成矩陣）

正交矩陣的性質(zhì)有哪些？

假如AAT=E（E為單位矩陣，AT表示“矩陣A的轉(zhuǎn)置矩陣”）或ATA=E，則n階實(shí)矩陣A稱為正交矩陣。正交矩陣是實(shí)數(shù)特殊化的酉矩陣，因此總是屬于正規(guī)矩陣。

正交矩陣的性質(zhì)

1、逆也是正交陣

對(duì)于一個(gè)正交矩陣來說，它的逆矩陣同樣也是正交矩陣。

2、積也是正交陣

假如兩個(gè)矩陣均為正交矩陣，那么它們的乘積也是正交矩陣。

3、行列式的值為正1或負(fù)1

任何正交矩陣的行列式是+1或1對(duì)于置換矩陣，行列式是+1還是1匹配置換是偶還是奇的標(biāo)志，行列式是行的交替函數(shù)。

4、在復(fù)數(shù)上可以對(duì)角化

比行列式限制更強(qiáng)的是正交矩陣總可以是在復(fù)數(shù)上可對(duì)角化來展示特征值的完全的集合，它們?nèi)急仨氂?復(fù)數(shù))盡對(duì)值1。